Geometria Plana: conceitos históricos e cálculo de área

Nesse estudo sobre a Geometria Euclidiana ou Plana, serão abordados os principais conceitos e um pouco da história desse ramo da matemática milenar que desempenha tão grande representatividade na vida da humanidade. Não há dúvidas da importância da Geometria na vida humana. O conhecimento geométrico revolucionou o saber, tornando-se o seu estudo, necessário à realização de grandes feitos nas áreas da construção e na partilha de terras. Se dividirmos a palavra Geometria conseguimos chegar ao seu significado etimológico: geo (terra) + metria (medida), portanto Geometria significa medida de terra.

Passeio pela História

O conhecimento geométrico como conhecemos hoje nem sempre foi assim. A geometria surgiu de forma intuitiva, e como todos os ramos do conhecimento, nasceu da necessidade e da observação humana. O seu início se deu forma natural através da observação do homem à natureza. Ao arremessar uma pedra num lago, por exemplo, observou-se que ao haver contato dela com a água, formavam-se circunferências concêntricas – centros na mesma origem. Para designar esse tipo de acontecimento surgiu a Geometria Subconsciente.

Conhecimentos geométricos também foram necessários aos sacerdotes. Por serem os coletores de impostos da época, a eles era incumbida a demarcação das terras que eram devastadas pelas enchentes do Rio Nilo. A partilha da terra era feita diretamente proporcional aos impostos pagos. Enraizada nessa necessidade puramente humana, nasceu o cálculo de área.

Muitos acontecimentos se deram, ainda no campo da Geometria Subconsciente, até que a mente humana fosse capaz de absorver propriedades das formas antes vistas intuitivamente. Nasce com esse feito a Geometria Científica ou Ocidental. Essa geometria, vista nas instituições de ensino, incorpora uma série de regras e sequências lógicas responsáveis pelas suas definições e resoluções de problemas de cunho geométrico.

Foi em 300 a.C. que o grande geômetra Euclides de Alexandria desenvolveu grandiosos trabalhos matemático-geométricos e os publicou em sua obra intitulada Os Elementos. Essa foi, e continua sendo, a maior obra já publicada - desse ramo - de toda a história da humanidade.  A Geometria plana, como é popularmente conhecida nos dias atuais, leva também o título de Geometria Euclidiana em homenagem ao seu grande mentor Euclides de Alexandria.

Cálculo de Áreas

Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá pontos pertencentes a esta.

O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo.

O quadrado

O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos são iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir:

Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l entre si.

Exemplo 1
Para pavimentar a sala de sua casa D. Carmem comprou 26 m² de piso. Sabendo que a sala tem o formato quadrangular e que um dos lados mede 5 m, diga se o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar a sua sala.

• A sala tem o formato quadrangular;
• O seu lado mede 5 m;
• A área do quadrado é A = l ².

Com base nos dados acima temos:

Conclui-se então que o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar sua sala e ainda sobrará 1 m².
Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m²), porém em alguns casos usa-se o km², cm², etc.

O retângulo

O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e todos os ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo:

Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela largura l.

Exemplo 2

Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o gramado que será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe precisa saber a área do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo que o campo tem 115 m de comprimento por 75 m de largura e ainda que o campo tem o formato retangular, ajude a equipe a solucionar o problema, diga quantos metros quadrados de área tem o campo de futebol?

O triângulo

O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. A soma dos seus ângulos internos é igual 180º.

Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado por 2 (metade da área do retângulo).

Exemplo 3

Encontre a área de um triângulo cuja base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm.

O trapézio

O trapézio é uma figura plana com um par de lados paralelos (bases) e um par de lados concorrentes.

Para calcular a área do trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado da soma multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2.

Exemplo 4

Um fazendeiro quer saber a área de um lote de terra que acabara de comprar. O lote tem o formato de um trapézio. Sabendo que a frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a distância da frente ao fundo é de 510 m. Determine a área do lote.

Conclusão

A necessidade geométrica perpassou o tempo e está impregnada em nossas vidas nos dias atuais. O conhecimento da Geometria Plana (Euclidiana) é tão importante que não é possível o caminhar separado da sua prática e do seu entendimento.

“Caminhemos sobre as curvas das formas e encontraremos um universo ainda não desbravado”. Robison Sá.

Referência bibliográfica:
Ferret, Rodrigo Bozi. História e filosofia da matemática. Aracaju: Gráf. UNIT, 2007.

Ao olhar, avaliar e interpretar a realidade, o olhar aguçado sobre a natureza pode estender os conceitos geométricos. Doczi (1990) expõe as conexões entre o estudo da natureza e as figuras geométricas. Em “O Poder dos Limites”, mostra com riqueza de detalhes, as harmonias e proporções na natureza, analisando flores, peixes, borboletas, o corpo humano e os geometriza encontrando relações matemáticas diversas. Não obstante, ainda analisa as produções humanas voltadas à Arte, também relacionando-as com Matemática. Unindo as pesquisas realizadas em Matemática, Arte e Natureza, pretende-se estimular o professor a usar as conexões existentes, principalmente, em relação à Matemática e Arte, para ampliar o seu conhecimento e tornar aulas de Matemática mais contextualizadas e dinâmicas

tigação Disciplinar As medidas do corpo humano No século 1, viveu o arquiteto e escritor romano Marcus Vitruvius Pollio. Vitruvius afirmava que seus projetos de construção de templos teriam como base a analogia existente nas medidas do corpo humano bem formado, ou seja, mantendo uma harmonia perfeita entre todas as partes. Em sua obra intitulada Ten Books on Architecture, a altura de um homem bem formado é igual ao alcance de seus braços estendidos. Essas medidas seriam formadoras de figuras geométricas planas como o quadrado e o círculo. O quadrado encerraria o corpo inteiro, enquanto os pés tocam a circunferência cujo centro é o umbigo do corpo humano. Séculos mais tarde, no período denominado como Renascimento, Leonardo da Vinci, ilustra a idéia baseando-se nos fundamentos de Vitruvius. O desenho torna-se referência de proporção e hoje é conhecido como “Homem Vitruviano”. Tendo como referência as proporções citadas, pode-se validar tal situação, efetuando as medidas no corpo das crianças e verificando as concepções mostradas. Que tal experimentar?